[ 문제 ] ※ 다음 제시문을 읽고 논제에 답하시오.(논제 1~3)



▶논제 1
제시문 (가)에 나오는 정의에 따라 포물선, 타원을 x, y에 관한 도형의 방정식으로 나타내어 보시오.

▶논제 2
제시문 (나)에서 나오는 정의에 따라 평면위의 한 점 (x1, y1)에서 포물선의 접선의 방정식을 구하시오.

▶논제 3
제시문 (다)의 "포물선의 축에 평행하게 진행한 모든 선은 포물선에 닿아 반사될 때 반드시 포물선의 초점을 지난다"를 논제 2를 참고하여 증명하시오.

▶논제 4
다음 글을 읽고 재영이 네 가족수를 구하는 방법을 설명하시오.

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재영이네 가족들은 간식으로 우유를 마시거나 야쿠르트를 따로 먹지 않고 우유와 야쿠르트를 혼합하여 100g씩 먹는다. 어느 날 재영이네 가족 모두가 집에 준비되어 있던 우유와 야쿠르트로 혼합물을 만들어 남김없이 가족 수에 맞게 먹을 수 있었다. 이 때, 재영이는 우유 전체의 1/3 야쿠르트 전체의 1/5을 먹게 되었다.

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[ 최우수 답안 ]남주고등학교 3학년 허 규











[출제 의도 및 심사평]

▶출제 의도=포물선과 쌍곡선의 수학적 개념과 원리를 이해하고 이를 특정한 경우에 어떻게 적용할 수 있는가를 묻는 문제이다. 이차곡선의 개념과 원리를 충분히 이해하고 다양한 상황에 적용하여 익숙하게 다룰 수 있는가를 측정하고자 하였다.

▶심사평=<논제1>에서 요구한 것은 포물선, 타원의 정의를 이용하여 좌표축에서 도형의 방정식의 모습과 그 과정을 유도하는 문제이다. 최우수 학생의 글은 포물선, 타원의 정의로부터 방정식의 표준형을 제시문의 정의를 사용하여 아주 훌륭하게 유도해 내고 있다. 그러나 많은 학생들이 유도되는 포물선, 타원의 방정식이 모두 두가지 경우가 있는데 그 중 하나만 제시되고 있어 아쉬웠다.

<논제2>에서는 제시문의 접선의 정의를 이용하여 포물선위의 한 점에서의 접선의 방정식을 유도하는 문제이다. 논제 해결의 핵심은 포물선위의 점을 지나는 직선의 방정식이 포물선에 접할 때 특정 변수에 대한 이차방정식으로 나타내고 이 방정식이 중근을 가질 때 직선의 기울기를 구하는 것이다.

<논제3>에서는 이차곡선의 실생활 활용 중에 파라볼라 안테나에 대한 문제이다. 포물선의 축에 평행하게 진행한 모든 선은 포물선에 닿아 반사될 때 반드시 포물선의 초점을 지난다는 문제이다. 최우수 학생은 포물선을 도형의 방정식의 표준형으로 표현한 후, 축과 평행하게 들어오는 빛이 초점으로 모이는 이유를 입사각과 반사각의 원리로 설명하고 있다.

<논제4>에서는 변수의 개수보다 적은 조건이 주어진 부정방정식의 실생활과 관련된 문제를 연립방정식을 이용하여 해결할 수 있는지를 묻고자하였다.

<강경훈/제주중앙여자고등학교 교사>