※ 다음 제시문을 읽고 논제에 답하시오.(논제 1)

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[논제 1-1] 유클리드 호제법을 이용하여 240과 144의 최대공약수를 구하시오.

[논제 1-2] 유클리드 호제법을 이용하여 A와 B의 최대공약수를 구하는 알고리즘과 순서도를 만들어 보시오.

※ 다음 제시문을 읽고 논제에 답하시오.(논제 2)

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러셀의 역설(Russell's paradox)은 수학자 버트런드 러셀이 1901년 발견한 논리적 역설로 프레게의 논리 체계와 칸토어의 소박한 집합론(naive set theory)이 모순을 지닌다는 것을 보여준 예이다.

그 대략적인 내용은 다음과 같다.

M이라는 집합을 "자신을 원소로 포함하지 않는 모든 집합들의 집합"으로 정의하자. 다시 말해, A가 M의 원소가 되기 위한 필요충분조건은 A가 A의 원소가 아닌 것으로 한다.

칸토어의 공리 체계에서 위와 같은 정의로 집합 M은 문제없이 잘 정의된다. 여기서 M이 자기 자신을 원소로 포함하는가 라는 질문을 던져본다. 만약 포함한다고 가정하면 그 정의에 의해 M은 자신을 원소로 포함하지 않는다. 반대로 M이 자신을 원소로 포함하지 않는다고 가정했을 때에도 역시 그 정의에 의해 M은 자신에 포함되어야 한다. 즉 "M은 M의 원소이다"라는 명제와 "M은 M의 원소가 아니다"라는 명제는 둘 다 모순을 도출하여 맞다 혹은 맞지 않다 중에 어떤 답으로 답할 수 없다.

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[논제 2] 세비아의 이발사가 문에 다음과 같이 써붙여 놓았다면 이발사는 누가 면도를 해주어야 하는지 설명하시오.

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나는 스스로 면도하지 않는 세비아의 사람들만 면도합니다.

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[논제 3] 한 변의 길이가 100m인 정사각형 모양의 광장 한 모퉁이에 수직으로 높이 60m인 기둥이 서 있다. 이 기둥은 지면에서부터 10m 까지는 흰색이고, 그 위는 빨간색으로 칠해져 있다. 광장의 한 지점에서 기둥의 빨간 부분을 바라보는 각의 크기를 α라고 α≥450할 때가 되는 광장의 부분의 넓이를 구하시오.



[우수]대기고 2학년 강민범

[논제 1] 1. 240=144×1+96144=96×1+4896=48×2이고 (240과 144의 최대공약수)=(144와 96의 최대공약수)=(96과 48의 최대공약수)=48이므로 240과 144의 최대공약수는 48이다.

2. A와 B의 최대공약수를 구하는 알고리즘은 다음과 같다.

① A, B의 값을 읽는다. ② A÷B의 나머지를 R라고 한다. ③ R≠0이면 ④로 가고, R=0이면 ⑤로 간다. ④ B를 A로, R를 B로 놓고, ②로 되돌아간다. ⑤ B를 인쇄한다.



[논제 2] 만일 이발사 자신이 스스로 면도를 한다면 그는 스스로 면도하는 사람들의 집합에 속하게 된다. 그렇게 되면 스스로 써 붙인 글의 내용에 따라서 스스로 면도하지 않는 세비아의 사람들만 면도해 준다고 하였으므로 스스로 면도하는 사람을 면도해서는 안된다. 따라서 이발사 자신이 스스로 면도할 수 있다는 것은 모순이다. 만일 다른 사람이 면도를 해 준다면 그는 스스로 면도하지 않는 사람의 집합에 속하게 된다. 따라서 그가 써 붙인 글에서 그러한 모든 사람을 면도한다고 하였으므로 자신이 직접 면도해야 하므로 다른 사람이 면도를 해 줄수는 없다. 따라서 다른 사람이 면도를 해준다는 것은 모순이다.



[논제 3]



만족하는 영역은 사분원에 해당하므로 ¼(900π-500π)=125π. 따라서 구하는 넓이는 125π이다.

[심사평]

학생들은 수학적 사고를 조리 있고 명확하게 친구들이나 선생님에게 설명해 정당화할 수 있어야 하며, 이 과정에서 엄밀하게 아이디어들을 표현하기 위한 수학의 언어와 기호를 사용할 수 있어야 한다. 이런 것을 '수학적인 의사소통 능력'이라고 한다. 수리 논술의 목표는 이러한 수학적인 의사소통 능력을 기른 것이다.

이번 콘테스트에 응시한 학생들도 자신의 수학적 아이디어와 사고 과정을 남에게 효과적으로 전달할 수 있는 그런 모습이 아쉬웠다. <강경훈 제주대학교사범대학부설고등학교 교사ㆍ제주특별자치도교육청 '톡톡튀는 논술학교' 운영위원>